Brauer 范畴与不变量理论

本文引入了一个类似于 Turaev 纽结范畴的 Brauer 图范畴，并给出了该范畴的一个展示；具体而言，我们证明了其四个生成同态之间的七个关系足以推导出所有态射间的方程。从该范畴到特征为零的任意域上正交群 $O(V)$ 或辛群 $Sp(V)$ 的张量表示范畴构建了满张量函子。这些经典群不变量理论的第一和第二基本定理被推广到了范畴论 setting 中。主要成果是我们获得了模 $V^{\otimes r}$ 的自同态代数的新展示。这是通过在 degree 为 $r$ 的标准 Brauer 代数展示中附加一个额外关系而获得的。该关系规定 Brauer 代数中一个准幂等元为零，我们分别用图和代数方式明确描述了该元。在辛群情形下，若 $\dim V = 2n$，该元正是 degree 为 $n + 1$ 的 Brauer 子代数中的中心幂等元，对应于其平凡表示。由于这是半单的最高 degree 的 Brauer 代数，我们的生成元是 Temperley-Lieb 代数的 Jones 幂等元在 Brauer 代数中的精确类比。在正交群情形下，额外关系也是整 Brauer 代数中的准幂等元。给出了这些结果的整型和量子型类比，后者涉及 BMW 代数。