关于随机 Volterra 积分方程的平稳性理论

本文对连续时间非马尔可夫动力系统的有限时间和长时间行为进行了全面分析，重点关注前向随机 Volterra 积分方程(SVIEs)。我们研究了此类方程解的性质，特别是其平稳性，无论是在有限时间区间内还是在长期范围内。特别地，我们证明除非核是常数或处于退化情形，否则此类方程不会表现出强平稳状态。然而，我们表明可以诱导一个$\textit{伪平稳状态}$，即所有边际分布共享相同的期望和方差。这种效果是通过引入一个与核相关的确定性稳定器 $\varsigma$ 来实现的。我们还研究了当时间趋于无穷时，此类过程的 $L^p$-汇合性（对于 $p>0$）（即，我们研究当时间趋于无穷时，从不同初始值出发的边际分布是否在 $L^p$ 意义下汇合），最后研究了一些扩散系数类别的函数弱长期渐近性。这些结果应用于指数-分数随机 Volterra 积分方程的情形，其具有 $\alpha$-gamma 分数积分核，其中 $\alpha\leq 1$ 进入$\textit{粗糙路径}$区域，而 $\alpha> 1$ 则正则化扩散路径并引发$\textit{长期记忆}$、持久性或长程依赖性。利用这种伪平稳 Volterra 过程，我们引入了一族稳定的波动率模型。