具有仿射漂移的 Volterra 方程：寻找平稳性

我们研究了缩放 Volterra 方程（即具有仿射均值回复漂移）的解在有限时域和长期运行下的平稳性。特别地，我们证明了这样的方程永远不会具有平稳状态，除非核是常数（即方程是标准的布朗扩散）或处于某些完全退化的病态设置中。我们引入了一个与核相关的确定性稳定化子 $\varsigma$，它产生了一个“伪平稳状态”，即所有边际分布共享相同的期望和方差。我们还表明，从不同初始值开始的这种过程的边际分布，随着时间趋于无穷大，在 $L^2$ 意义下是合流的。我们证明，对于某些类别的扩散系数（正二次多项式的平方根），此类 Volterra 方程的时间平移解弱函数收敛于一个共享相同协方差函数的 $L^2$-平稳过程族。我们将这些结果应用于（稳定化的）粗糙波动率模型（当核 $K(t)= t^{H-\frac 12}$, $0<H<\frac 12$ 时），从而产生了一个伪平稳二次粗糙 Heston 模型。