关于 Sierpi\'nski 垫片上 Dirichlet 形式的递归构造

令 $\Gamma_n$ 表示 Sierpi\'nski 垫片 $K$ 的第 $n$ 层 Sierpi\'nski 图。我们考虑对于 $\Gamma_0$ 上任意给定的电导 $(a_0, b_0, c_0)$，通过在 $\Gamma_n (n\geq 0)$ 上递归构造相容电导序列 $(a_n, b_n, c_n)$ 而得到的 $K$ 上的 Dirichlet 形式 ${\mathcal E}$。我们证明了存在一种二分情况：要么 $a_0= b_0 =c_0$ 且 ${\mathcal E}$ 是标准 Dirichlet 形式，要么 $a_0 >b_0 =c_0$（或两种对称替代情况），且 ${\mathcal E}$ 是一个独立于 $a_0, b_0$ 的非自相似 Dirichlet 形式。第二种情况也在 [Hattori et al 1994][Hambley et al 2002] 中作为 Sierpi\'nski 垫片上的一维渐近扩散过程进行了研究。对于谱性质，我们给出了相关 Laplacian 的特征值分布的尖锐估计，改进了 [Hambley et al 2002] 中的类似结果。