高维 l 级 Sierpinski 垫片上的 Hodge-de Rham 理论

本文将 Aaron 等人 [Commun. Pure Appl. Anal. 13 (2014)] 的 Hodge-de Rham 理论推广到高维 l 级 Sierpinski 垫片 $SG_{\ell}^{n}$，为分析这些分形结构上的微分形式和 Laplace 算子提供了一个框架。我们构造了一列逼近 $SG_{\ell}^{n}$ 的图，并在这些图上定义了 k-形式、de Rham 导数及其对偶。我们证明了第 m 代图上的 1-形式到第 (m+1) 代图上的 1-形式的延拓是调和的。我们得到了调和 1-形式空间的一组基。在假设 2-形式关于 Kusuoka 测度或标准自相似测度绝对连续且 Radon-Nikodym 导数连续的条件下，我们还探讨了 3 级 Sierpinski 垫片上 2-形式的性质。