Sierpinski Gasket 上的 Kuramoto 模型 I：调和映射

受 Sierpinski 砖块 (SG) 上图形逼近的 Kuramoto 模型 (KM) 中吸引子研究的启发，我们重访了由 Strichartz 首次考察的从 SG 到圆面的调和映射 (HM)。我们提供了 Strichartz 定理的几何证明，该定理指出：对于给定的度数和合适的边界条件，从 SG 到圆面存在唯一的 HM。我们将此结果推广至后临界有限 (p.c.f.) 碎片上的 HM。对于 SG 上的连续函数，我们定义一个由任意有限长度整数向量组成的度数。我们证明度数决定了 SG 上以圆面值为目标的等位类。这提供了 SG 上的 Hopf 度数定理的类比。我们进一步分析 HM。我们方法的核心在于原创的覆盖空间构造。通过将 SG 上以圆面值为目标的连续函数提升到覆盖空间上的连续实值函数，我们使用调和延拓算法得到覆盖空间上的调和函数。最终通过将调和函数的定义域限制到基本域并将值域投影到圆面，即可得到所需的 HM。每个覆盖空间为给定等位类的 HM 单独构造，捕捉其内在拓扑结构。我们指出在适当修改后，该方法可适用于 p.c.f. 碎片，这是一大类自相似域。我们通过数值实例说明了从 SG 到圆面的 HM，并讨论了几个代表性 p.c.f. 碎片（包括 3 级 SG、hexagasket 和 pentagasket）的覆盖空间构造。本文结果为后续工作奠定了基础，该工作将完整描述 p.c.f. 碎片上图形逼近的 KM 中的所有吸引子。具体而言，我们证明本文中识别出的所有 HM 都是 KM 的稳定平稳态。