闭曲线补集的收缩映射分析

我们研究 $S^n$ 中光滑曲线 $\Sigma$ 的补集上作用于其上的距离减小自映射 $g$ 的一些分析性质。对于 $n>4$ 且 $n\equiv 0 \mod 4$ 的情况，设 $\Sigma$ 为 $S^n$ 中的嵌入圆，$g$ 为 $X=S^n\backslash \Sigma$ 上的完整黎曼度量，$f:(X,g)\to (X,g_{std})$ 为 1-收缩diffeomorphism。我们验证了锐利估计 $\inf_{x\in X}Sc(g)_x<n(n-1)$，前提是任取实 Lipschitz 2-链 $C$ 表示 $H_2(S^n, W(\Sigma); \mathbb{R})$ 中的单位元 $[C]$，且 $Area_g(C)>C(n)\cdot \max_i\{|\theta_i|\}$，其中 $W(\Sigma)$ 为 $\Sigma$ 的任意管形邻域，\{e^{2\pi i\theta_i\}_i 为沿 $\iota^*S^+$ 的 holonomy 参数，$S^+$ 为 $S^n$ 上的正 spinor 包。