陶哲轩一个问题的求解

在本文中，我们解决了陶哲轩的一个问题。我们证明对于任意 $K\geq 2$ 和充分大的 $N$，在 $N$ 和 $(1+\frac{1}{K})N$ 之间的素数 $p$ 的个数，使得对所有 $1\leq a, |j|, k\leq K$，$1\leq i \leq K\log N$ 以及 $l$ 在任意集合 $L =L_{N}\subseteq\{-KN,\cdots, KN\}$（基数为 $K$ 且 $ja^{i}+l\neq0$）中，都有 $\mid kp+ja^{i}+l\mid$ 为合数，该个数至少为 $C_{K}\frac{N}{\log N}$，其中 $C_{K}>0$ 仅依赖于 $K$。