$\sum_{p\le n} 1/p = \ln(\ln n) + O(1)$：一个阐述

众所周知，$\sum_{p\le n} 1/p =\ln(\ln(n)) + O(1)$，其中 $p$ 遍历素数。我们给出了此结论的几个已知证明。我们首先给出一个 $\ge \ln(\ln(n)) + O(1)$ 的证明。这基于 Euler 关于 $\sum_p 1/p$ 发散的证明。然后我们给出三个 $\sum_{p\le n} 1/p \le \ln(\ln(n)) + O(1)$ 的证明。第一个证明归功于 Mertens，不使用素数定理。第二个和第三个证明确实使用了素数定理，因此更简短。