关于前 n 个素数的几何平均

令 $p_n$ 为第 $n$ 个素数，并考虑序列 $s_n = (2\cdot3\cdots p_n)^{1/n} = (p_n\#)^{1/n}$，即前 $n$ 个素数的几何平均。我们给出一个简短证明：$p_n/s_n \to e$，这一结果由 Vrba (2010) 猜想并由 Sandor 和 Verroken (2011) 证明。我们表明 $p_n/s_n = \exp(1+1/\log p_n + O(1/\log^2 p_n))$ 当 $n\to\infty$，并给出 $O(1/\log^2 p_n)$ 项的显式下界和上界。