前n个质数的算术平均数

前n个质数的算术平均数 $\bar p_n = {1\over n} \sum_{i=1}^n p_i$ 具有许多有趣且微妙的性质。由于从 $p_n \to \bar p_n$ 的变换极其容易逆转，$p_n = n\bar p_n - (n-1)\bar p_{n-1}$，显然这两个序列 $p_n \longleftrightarrow \bar p_n$ 必须最终携带完全相同的信息。但平均序列 $\bar p_n$ 虽然与质数密切相关（$\bar p_n \sim {1\over2} p_n$），却更“平滑”，更好地行为。通过对各种标准结果的扩展，我将展示质数平均序列 $\bar p_n$ 满足质数平均类的哥德尔、安德拉、列维nard、奥佩尔曼、布罗卡、菲洛赫、弗里奥兹巴赫特、尼尔son和Farhadian猜想的质数平均类等价。（因此这些质数平均类等价并非猜想，而是定理。）使这种愉悦行为成为可能的关键在于平均过程所固有的“平滑”。虽然两个序列的渐近行为密切相关，但局部波动却截然不同。