素数 Cramér 模型的关键概率特征与算术性质

本文对 Cramér 模型的“素数”进行概率研究。我们证明存在密度为 1 的整数集 $\mathcal S$,使得 \begin{equation}\liminf_{ \mathcal S\ni n\to\infty} (\log n)\mathbb{P} \{S_n\ \hbox{prime} \} \ge \frac{1}{\sqrt{2\pi e}\, }, \end{equation} 且对 $b>\frac12$,公式 \begin{equation} \mathbb{P} \{S_n\ \text{prime}\, \} \, =\, \frac{ (1+ o( 1) )}{ \sqrt{2\pi B_n } } \int_{m_n-\sqrt{ 2bB_n\log n}}^{m_n+\sqrt{ 2bB_n\log n}} \, e^{-\frac{(t - m_n)^2}{ 2 B_n } }\, {\rm d}\pi(t), \end{equation} 其中 $m_n=\mathbb{E} S_n,B_n={\rm Var }\,S_n$,对一切 $n\in \mathcal S$,当 $n\to \infty$ 时成立。进一步我们证明对任意 $0<\eta<1$,及所有充分大的 $n$ 与 $\zeta_0\le \zeta\le \exp\big\{ \frac{c\log n}{\log\log n}\big\}$,令 $S'_n= \sum_{j= 8}^n \xi_j$,\begin{eqnarray*} \mathbb{P}\big\{ S'_n\hbox{\ $\zeta$-quasiprime}\big\} \,\ge \, (1-\eta) \frac{ e^{-\gamma} }{ \log \zeta }, \end{eqnarray*} 依 Pintz 的术语,其中 $c>0$,$\gamma$ 为欧拉常数。我们还检验了哪些无穷素数序列以概率 1 被 Cramér 模型的“素数”最终避开。此外我们表明 Cramér 模型对素数定理有影响,因其预测误差项对子序列敏感。我们得到了关于区间 $I$ 的长度与出现次数的尖锐结果,使得对某个 $z>0$,\begin{equation}\sup_{n\in I} \frac{|S_n-m_n|}{ \sqrt{B_n}}\le z, \end{equation} 此与 Sturm-Liouville 方程谱相关。