$\mathbb{Z}_p$中的膨胀和

我们考虑素数阶群中膨胀和的问题。我们证明，给定$A\subset \Z{p}$具有足够小的密度，则$$\big| \lambda_{1}A+\lambda_{2}A+...+ \lambda_{k}A \big| \,\ge\,\bigg(\sum_{i}|\lambda_{i}|\bigg)|A|- o(|A|),$$而另一方面，对于任意$\epsilon>0$，我们构造密度为$1/2-\epsilon$的子集，使得$|A+\lambda A|\leq (1-\delta)p$，表明对于大密度子集存在非常不同的行为。