关于插值投影算子估计的几何方法

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb R}^n$ 中的闭有界子集，$S$ 是一个 $n$ 维非退化单形，$\xi(\Omega;S):=\min \left\{\sigma\geq 1: \, \Omega\subset \sigma S\right\}$。这里 $\sigma S$ 是 $S$ 关于其重心以系数 $\sigma$ 作位似的结果。令 $d\geq n+1$，$\varphi_1(x),\ldots,\varphi_d(x)$ 为 $n$ 个变量中线性无关的单项式，$\varphi_1(x)\equiv 1$，$\varphi_2(x)=x_1,\ \ldots, \ \varphi_{n+1}(x)=x_n$。记 $\Pi:={\rm lin}(\varphi_1,\ldots,\varphi_d)$。以节点集 $x^{(1)},\ldots, x^{(d)}$ $\in \Omega$ 定义的插值投影算子 $P: C(\Omega)\to \Pi$ 满足等式 $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right)$。以 $\|P\|_{\Omega}$ 记 $P$ 作为从 $C(\Omega)$ 到 $C(\Omega)$ 的算子的范数。考虑映射 $T:{\mathbb R}^n\to {\mathbb R}^{d-1}$，其形式为 $T(x):=(\varphi_2(x),\ldots,\varphi_d(x))$。我们有如下不等式：$\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{d-1}\right)\left(\|P\|_{\Omega}-1\right)+1$ $\leq \xi(T(\Omega);S)\leq \frac{d}{2}\left(\|P\|_{\Omega}-1\right)+1.$ 此处 $S$ 是以 $T\left(x^{(j)}\right)$ 为顶点的 $(d-1)$ 维单形。我们讨论这一关系及关于在区间上连续函数多项式插值的其他关系。给出了数值分析的结果。