矩阵值函数由插值多项式逼近的估计

设 $A$ 为复方阵，$z_1$, ..., $z_{n}\in\mathbb C$ 为（可重复的）插值点，$f$ 在 $A$ 的谱与点 $z_1$, ..., $z_{n}$ 之并的凸包邻域内解析，$p$ 为由点 $z_1$, ..., $z_{n}$ 构造的 $f$ 的插值多项式。证明在此假设下有 $$\Vert f(A)-p(A)\Vert\le\frac1{n!} \max_{t\in[0,1];\,\mu\in\text{co}\{z_1,z_{2},\dots,z_{n}\}}\bigl\Vert\Omega(A)f^{{(n)}} \bigl((1-t)\mu\mathbf1+tA\bigr)\bigr\Vert,$$ 其中 $\Omega(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k)$。