利用均值中位数法实现一维随机网格的超多项式精度

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上解析，且对于某常数 $A$ 和 $\alpha<2$ 满足 $|f^{(k)}(1/2)|\leq A\alpha^kk!$。我们证明，在采用 $n=2^m$ 个点的随机线性置乱下，$\mu=\int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x$ 的中位数估计以 $O(n^{-c\log(n)})$ 的速率收敛，其中任意 $c< 3\log(2)/\pi^2\approx 0.21$。当 $k=\Omega(m)$ 时，我们还得到了 $2k-1$ 个随机线性置乱估计的样本中位数的超多项式收敛速率。当 $f$ 的 $p$ 阶导数满足 $\lambda$-Hölder 条件时，若 $k\to\infty$ 随 $m\to\infty$，则均值中位数法的误差为 $O( n^{-(p+\lambda)+\epsilon})$，其中任意 $\epsilon>0$。