矩阵解析函数由有理函数逼近的估计

设 $A$ 为复方阵；$z_1$, ..., $z_{N}\in\mathbb C$ 为任意（可重复的）插值点；$f$ 为定义在矩阵 $A$ 的谱 $\sigma(A)$ 与点 $z_1$, ..., $z_{N}$ 之并的凸包邻域上的解析函数；有理函数 $r=\frac uv$（分子 $u$ 的次数小于 $N$）在这些点（按其重数计）处插值 $f$。在这些假设下，提出了如下类型的估计 $$\bigl\Vert f(A)-r(A)\bigr\Vert\le \max_{t\in[0,1];\mu\in\text{convex hull}\{z_1,z_{2},\dots,z_{N}\}}\biggl\Vert\Omega(A)[v(A)]^{-1} \frac{\bigl(vf\bigr)^{{(N)}} \bigl((1-t)\mu\mathbf1+tA\bigr)}{N!}\biggr\Vert,$$ 其中 $\Omega(z)=\prod_{k=1}^N(z-z_k)$。作为说明此类估计精度的例子，考虑了使用降阶 Arnoldi 方法获得的动态系统脉冲响应的逼近，并将逼近的实际精度与基于本文的估计进行了比较。