有理函数的新实现及其在线性组合插值中的应用

我们引入如下线性组合插值问题 (LCI)：给定 $N$ 个互异的数 $w_1,\ldots w_N$ 以及 $N+1$ 个复数 $a_1,\ldots, a_N$ 和 $c$，寻找所有在包含点 $w_1,\ldots,w_N$ 的单连通集（依赖于 $f$）内解析的函数 $f(z)$，使得 $$\sum_{u=1}^Na_uf(w_u)=c.$$ 为此，我们证明了此类函数 $f$ 关于关联多项式 $p(z)$ 的表示定理。我们首先引入以下两种运算：$(i)$ $p$ 的代入，以及 $(ii)$ 乘以单项式 $z^j, 0\le j < N$。令 $M$ 为由这两种运算生成的模，作用于在 $0$ 附近解析的函数。我们证明了每一个在 $p$ 的根的邻域内解析的函数 $f$ 都属于 $M$。事实上，这种 $f$ 的表示是唯一的。为求解上述插值问题，我们采用了一种适配的系统论实现，以及 Cuntz 关系（来自多变量算子理论）的关联表示。我们在再生核希尔伯特空间中研究这些运算：给出了在某些再生核希尔伯特空间中通过算子实现这些 Cuntz 关系表示的存在性的充要条件，并提供了相应核的无穷乘积分解。