径向基函数的插值理论

在本论文中，首先证明了当径向基函数为$p$-范数且$1 < p < 2$时，只要插值点互异且至少有两个，插值总是可行的。然后我们证明当$p > 2$时，插值并非总是可行。具体地，对于每个$p > 2$，我们构造了某个$\Rd$中的一组互异点，使得插值矩阵是奇异的。本工作的主要部分研究了径向基函数插值对插值点函数值变化的敏感性。我们的早期结果表明，可以用分布傅里叶变换的语言优雅地重新表述Ball、Narcowich和Ward的工作。然后我们使用这种语言来研究由规则网格子集生成的插值矩阵。特别地，我们能够扩展经典的Toeplitz算子理论，以计算此类矩阵谱的精确界。应用对这些谱的理解，我们为插值方程的共轭梯度求解构造了预条件子。我们的主要结果是：达到所需容差内线性系统求解所需的步数可以独立于插值点的数量。Toeplitz结构使我们能够使用快速傅里叶变换技术，这意味着总运算次数是$n \log n$的倍数，其中$n$是插值点的数量。最后，我们使用一些方法来研究当形状参数趋于无穷时多二次函数的行为。我们发现了与Whittaker的{\it sinus cardinalis}或{\it sinc}函数的一个惊人联系。因此，在逼近带限函数时，使用大的形状参数可能非常有用。