通过高斯函数及相关函数插值 Sobolev 函数的逼近速率

$L_2[-\pi,\pi]$ 的 Riesz 基序列是指 $\mathbb{R}$ 中的一个严格递增序列 $X:=(x_j)_{j\in\mathbb{Z}}$，使得函数集 $\left(e^{-ix_j(\cdot)}\right)_{j\in\mathbb{Z}}$ 构成 $L_2[-\pi,\pi]$ 的一个 Riesz 基。给定这样一个序列和一个参数 $0<h\leq1$，我们考虑通过高斯核的平移，在点集 $(hx_j)_{j\in\mathbb{Z}}$ 处对函数 $g\in W_2^k(\mathbb{R})$ 进行插值。证明了存在形式为 $$I^{hX}(g)(x):=\underset{j\in\mathbb{Z}}{\sum}a_je^{-(x-hx_j)^2},\quad x\in\mathbb{R}$$ 的插值函数，该函数在 $\mathbb{R}$ 上连续且平方可积，并满足插值条件 $I^{hX}(g)(hx_j)=g(hx_j),j\in\mathbb{Z}$。此外，利用参数 $h$ 可获得 $h^k$ 阶的逼近速率。即存在一个与 $g$ 无关的常数，使得 $\|I^{hX}(g)-g\|_{L_2(\mathbb{R})}\leq Ch^k|g|_{W_2^k(\mathbb{R})}$。本文还考虑了使用高斯函数以外的某些函数（称为正则插值器）的平移进行插值，并证明其表现出相同的逼近速率。