Bessel 势与 Riesz 势的比较

Bessel 势 $G_{\alpha,\mu}f$ 与 Riesz 势 $I_\alpha f$ 相比有多大？本文中，我们证明若 $I_\alpha f\in L^p$ 且 $0<\alpha<1$、$p>1$，则如下插值界成立：$$\Vert G_{\alpha,\mu}f\Vert_p\leq C(\omega(I_\alpha f,1/\mu)_p)^\alpha\cdot\Vert I_\alpha f\Vert^{1-\alpha}_p.$$ 此处 $\omega(f,t)_p$ 为 $L^p$ 连续模。然而，若 $\alpha=p=1$，我们得到“ $L\log L$ ”型结果 $$\Vert G_{1,\mu}f\Vert_1\leq B\omega(I_1f,1/\mu)_1|\log\omega(I_1f,1/\mu)_1|.$$ 这些及其他估计通过研究两算子的商 $E_{\alpha,\mu}:=\frac{(-\Delta)^{\alpha/2}}{(\mu^2-\Delta)^{\alpha/2}}$ 获得。该算子由于与逼近理论的联系而具有独立意义。