子流形上的积分概率度量：插值不等式与最优推断

我们研究了当测度在闭子流形上具有密度时，Hölder积分概率度量（IPM）之间的插值不等式。精确地说，如果两个概率测度$\mu$和$\mu^\star$分别相对于某个子流形$\mathcal{M}$和$\mathcal{M}^\star$的体积测度具有$\beta$光滑密度，那么光滑度$\gamma\geq 1$的Hölder IPM $d_{\mathcal{H}^\gamma_1}$和光滑度$\eta>\gamma$的$d_{\mathcal{H}^\eta_1}$满足$d_{ \mathcal{H}_1^{\gamma}}(\mu,\mu^\star)\lesssim d_{ \mathcal{H}_1^{\eta}}(\mu,\mu^\star)^\frac{\beta+\gamma}{\beta+\eta}$，忽略对数因子。我们提供了这个结果在高维推断中的一个应用。这些函数不等式被证明是未知子流形上密度估计的关键工具。特别是，它允许构建第一个能够同时对所有距离$d_{\mathcal{H}_1^\gamma}$（$\gamma \in [1,\infty)$）达到最优估计率的估计器。