欧氏球上线性插值下投影算子的最小范数

我们证明如下命题。在欧氏 $n$ 维球 $B$ 上的线性插值中，节点与内接于边界球的正则单形顶点重合的插值投影子具有最小的 $C$-范数。该最小范数 $\theta_n(B)$ 等于 $\max\{\psi(a_n),\psi(a_n+~1)\}$，其中 $\psi(t)=\dfrac{2\sqrt{n}}{n+1}\Bigl(t(n+1-t)\Bigr)^{1/2}+ \left|1-\dfrac{2t}{n+1}\right|$，$0\leq t\leq n+1$，且 $a_n=\left\lfloor\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{\sqrt{n+1}}{2}\right\rfloor$。对任意 $n$，有 $\sqrt{n}\leq \theta_n(B)\leq \sqrt{n+1}$。此外，$\theta_n(B)=\sqrt{n}$ 仅当 $n=1$ 时成立，而 $\theta_n(B)=\sqrt{n+1}$ 当且仅当 $\sqrt{n+1}$ 为整数。