关于插值投影算子范数估计的注记

设 $Q_n=[0,1]^n$ 为 ${\mathbb R}^n$ 中的单位立方体，$C(Q_n)$ 为连续函数 $f:Q_n\to{\mathbb R}$ 的空间，其范数为 $\|f\|_{C(Q_n)}:=\max_{x\in Q_n}|f(x)|$。以 $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ 表示次数 $\leq 1$ 的多项式集，即 ${\mathbb R}^n$ 上线性函数的集合。以节点 $x^{(j)}\in Q_n$ 定义的插值投影算子 $P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ 满足 $Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right)$，$j=1,$ $\ldots,$ $n+1$。令 $\|P\|_{Q_n}$ 为 $P$ 作为从 $C(Q_n)$ 到 $C(Q_n)$ 算子的范数。若 $n+1$ 为Hadamard数，则存在以 $Q_n$ 的顶点为顶点的非退化正则单形。我们讨论若干获取形如 $||P||_{Q_n}\leq c\sqrt{n}$ 的对应投影算子 $P$ 范数不等式的方法。