一类临界增长-碎裂半群与折射 Lévy 过程

增长-碎裂方程模拟随时间推进而增长并分裂的粒子系统。一个重要问题涉及其解的大时间渐近性。Doumic 与 Escobedo（$2016$）观察到当增长为质量的线性函数且碎裂是齐次时，所谓的 Malthusian 行为失效。本工作中，我们通过考虑分段线性增长进一步分析临界情形，即 \begin{equation} c(x) = \begin{cases} a_{_-} x \quad \quad x < 1 \ a_{_+} x \quad \quad x \geq 1, \end{cases} \end{equation} 其中 $0 < a_{_+} < a_{_-}$。我们给出了确保 Malthusian 行为以指数速度收敛到渐近轮廓的系数的充要条件，并给出了后者的显式表达式。我们的方法关键依赖于在此情形下自然出现的所谓折射 Lévy 过程的性质。