由指数 Ornstein-Uhlenbeck 过程驱动的随机增长过程的增长率

我们研究离散时间随机增长过程 $x_{i+1} = (1 + \mu_i) x_i$，其增长率 $\mu_i = \rho e^{Z_i - \frac12 var(Z_i)}$ 与在均匀间隔时间网格 $\{t_i\}_{i=0}^n$（时间步长为 $\tau$）上采样的 Ornstein-Uhlenbeck (O-U) 过程 $dZ_t = - \gamma Z_t dt + \sigma dW_t$ 的指数成正比。利用大偏差理论方法，我们计算渐近增长率（Lyapunov 指数）$\lambda = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \log \mathbb{E}[x_n]$。我们证明在 O-U 参数适当缩放下该极限存在，并可表示为一个变分问题的解。该渐近增长率与具有吸引指数势的一维晶格气体的热力学压强有关。当 $Z_t$ 为平稳 O-U 过程时，该晶格气体与 Kac 和 Helfand 先前考虑的系统一致。我们导出 $\lambda$ 的上界和下界。在大平均回复极限 $\gamma n \tau \gg 1$ 下，两个界收敛，增长率由 van der Waals 状态方程的晶格版本给出。这些预测针对随机增长模型的数值模拟进行了检验。