三维块堆的增长率

我们考虑在底为 $n \times n$ 的大三维包围盒中，简单立方晶格上由 $N$ 个块（$N\gg 1$）构成的三维堆的配置统计，并计算在 $n\gg 1$ 时对应配分函数 $Z_N\sim N^{\theta}[\Lambda(n)]^N$ 的增长率 $\Lambda(n)$。我们的计算依赖于G.X. Viennot的定理，该定理将 $(D+1)$ 维块堆的生成函数与这些块在 $D$ 维子空间上投影的生成函数相联系。因此，不能由垂直面相互接触的立方体块堆的增长率，与描述2D硬方块晶格气的配分函数零点位置相关。我们在任意 $n$ 的有限 $n\times n$ 晶格上精确研究低浓度下的对应配分函数，并将其行为外推至阻塞转变密度。这使我们估计出极限增长率 $\Lambda =\lim_{n\to\infty}\Lambda(n)\approx 9.5$。同一方法适用于任意底层2D晶格及多种块形状：映射为排斥二聚体集合的平坦垂直方块、映射为具有硬核排斥矩形集合的多米诺骨牌等。