球商与具有有限生成核的到 $\mathbb{Z}$ 上映射的尖点及 $b_1$ 增长

设 $M = \mathbb{B}^2 / \Gamma$ 是一个光滑的有限体积球商，其第一 Betti 数记为 $b_1(M)$，并令 $\mathcal{E}(M) \ge 0$ 为 $M$ 的尖点（即拓扑末端）个数。我们研究在 $M$ 的有限叶覆盖塔中可能出现的增长率。特别地，$b_1$ 与 $\mathcal{E}$ 彼此几乎无关，这与已被充分理解的双曲 $2$-和 $3$-流形的情形形成对比。我们还讨论了作用于 $\mathbb{B}^2$ 和 $\mathbb{B}^3$ 上的同余算术格的 $b_1$ 增长。在此过程中，我们给出了 $\mathrm{PU}(2, 1)$ 中一个格的具体例子，它容许一个到 $\mathbb{Z}$ 上的同态，且核为有限生成。此外，我们证明了任意最简类型的余紧算术格 $\Gamma \subset \mathrm{PU}(n, 1)$ 都包含一个具有此性质的有限指数子群。