作为球商的曲线乘积

对于任意 $g_1, g_2 \ge 0$，本文证明存在一个余紧格群 $\Gamma < \mathrm{PU}(2,1)$，使得球商 $\Gamma \backslash \mathbb{B}^2$ 双有理等价于亏格为 $g_j$ 的光滑射影曲线 $C_j$ 的乘积 $C_1 \times C_2$。此前仅有的例子是 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$（由 Deligne--Mostow 给出并被许多人重新发现），以及一个由 Hirzebruch 的工作推导出的鲜为人知的椭圆曲线乘积。结合相关的新例子，这肯定地回答了 Gromov 问题的一个有理变体在 Kodaira 维数 $\kappa \le 0$ 曲面情形下的成立性，即它们允许形变 $V^\prime$，使得存在一个紧球商 $\Gamma \backslash \mathbb{B}^2$ 及有理映射 $\Gamma \backslash \mathbb{B}^2 \dashrightarrow V^\prime$。通常，证明会给出更强的结论，即 $V^\prime$ 双有理等价于一个球商轨形。由此还可推出，每个单连通 $4$ 维流形都被复双曲流形所控制。本文考虑的所有例子均被证明是算术的，甚至 Hirzebruch 例子的算术性似乎也是新的。