曲面辫群、有限海森堡覆盖与双重 Kodaira 纤维化

我们利用 $\Sigma_b \times \Sigma_b$ 的有限伽罗瓦覆盖给出双重 Kodaira 纤维化的新例子，其中 $\Sigma_b$ 是亏格 $b \geq 2$ 的光滑射影曲线。每个覆盖通过给出纯辫群 $\mathsf{P}_2(\Sigma_b)$ 到某个有限海森堡群的显式群满射得到。由此，我们能够证明每条亏格为 $b$ 的曲线都是某个双重 Kodaira 纤维化的底曲线；此外，在固定曲线 $\Sigma_b$ 上纤维化的两两非同构 Kodaira 纤维曲面的个数至少为 $\boldsymbol{\omega}(b+1)$，其中 $\boldsymbol{\omega} \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 表示计数正整数不同素因子个数的算术函数。作为我们一般构造的特例，我们得到一个符号差为 $144$ 的实 $4$-流形，它可作为亏格 $2$ 的曲面上的实曲面丛以两种不同方式实现，纤维亏格为 $325$。这（据我们所知）给出了低维拓扑中 Kirby 列表问题的一个“双重”解。