球面几何有限商上解析函数

设 $\Gamma$ 为 $\mathrm{PU}(n,1)$ 的一个离散且无 torsion 的子群，即单位球 $\mathbb{C}^{n}$ 中的仿射函数群，记为 $\mathbb{H}^{n}_{\mathbb{C}}$。我们证明，如果 $\Gamma$ 为阿贝尔群，则 $\mathbb{H}^{n}_{\mathbb{C}}/\Gamma$ 为 Stein 流形。如果 $\Gamma$ 的临界指数 $\delta(\Gamma)$ 小于 2，Dey 和 Kapovich 的猜想预测 $\mathbb{H}^{n}_{\mathbb{C}}/\Gamma$ 为 Stein。我们在 $\Gamma$ 为抛物性或几何有限的情况下确认了这一猜想。我们也研究 $\delta(\Gamma)=2$ 且包含紧致复曲线的商的情况，并确认了 Dey 和 Kapovich 的另一个猜想。我们最终表明，当 $\Gamma$ 为抛物性或几何有限群且保持 $\mathbb{H}^{n}_{\mathbb{C}}$ 的一个全实且全测地子流形时，$\mathbb{H}^{n}_{\mathbb{C}}/\Gamma$ 为 Stein，无需对临界指数作任何假设。