关于映射类群有限指数子群的阿贝尔化的一个注记

对于某个 $g \geq 3$，设 $\Gamma$ 为亏格 $g$ 曲面（可能带有边界分支和穿孔）的映射类群的一个有限指数子群。Ivanov 的一个旧猜想指出 $\Gamma$ 的阿贝尔化应当是有限的。在此注记中，我们证明了支持该猜想的两个定理。对于第一个定理，设 $T_x$ 表示关于简单闭曲线 $x$ 的 Dehn 扭转。对于某个 $n \geq 1$，有 $T_x^n \in \Gamma$。我们证明 $T_x^n$ 在 $\Gamma$ 的阿贝尔化中是挠元。我们的第二个结果表明，如果 $\Gamma$ 包含 Johnson 核的“一大块”（在某种特定技术意义上），即由关于分离曲线的扭转生成的映射类群的子群，则 $\Gamma$ 的阿贝尔化是有限的。这推广了 Hain 和 Boggi 的工作。