[IA_n,IA_n] 与 Johnson 核的有效有限生成

设 $IA_n$ 表示秩为 $n$ 的自由群的 $IA$-自同构群，$\mathcal I_n^b$ 表示带 $b$ 个边界分支（$b=0,1$）的亏格 $n$ 可定向曲面的映射类群的 Torelli 子群。1935 年 Magnus 证明了对于所有 $n$，$IA_n$ 是有限生成的；1983 年 Johnson 证明了对于 $n\geq 3$，$\mathcal I_n^b$ 是有限生成的。最近有结果表明，对每个 $k\in\mathbb N$，当下中心列的第 $k$ 项 $\gamma_k IA_n$ 与 $\gamma_k\mathcal I_n^b$ 在 $n>>k$ 时是有限生成的；然而对于 $k>1$ 其有限生成集的信息此前未知。本文的主要目标是为 $\gamma_2 IA_n = [IA_n,IA_n]$ 构造显式的有限生成集，并为 $\gamma_2\mathcal I_n^b$ 以及 Johnson 核构造几乎显式的有限生成集，其中 Johnson 核以有限指数子群的方式包含 $\gamma_2\mathcal I_n^b$。