关于具有近乎常曲率的凸圆盘的一类 Dowker 型问题

Dowker 的一个经典结果（Bull. Amer. Math. Soc. 50: 120-122, 1944）指出，对于任意平面凸体 $K$，内接（相应地，外切）于 $K$ 的具有最大（相应地，最小）面积的凸 $n$ 边形面积序列是凹（相应地，凸）的。已知若以周长替代面积，或以由 $n$ 个闭欧氏单位圆盘之交得到的圆盘-$n$ 边形替代凸 $n$ 边形，该定理仍成立。近期已证明，若 $C$ 是赋范平面的单位圆盘，则对于外切于 $C$-凸圆盘 $K$ 的 $C$-$n$ 边形面积，以及内接或外切于 $C$-凸圆盘 $K$ 的 $C$-$n$ 边形周长，同样性质成立；但对于关于 Hausdorff 距离典型的原点对称凸圆盘 $C$，存在 $C$-凸圆盘 $K$ 使得内接于 $K$ 的具有最大面积的 $C$-$n$ 边形面积序列非凹。本文旨在考察：若以 $C$ 边界的表面积测度诱导的拓扑替代 Hausdorff 距离诱导的拓扑，此问题将如何变化。