关于一类二维奇异 Douglas 与射影平坦 Finsler 度量

奇异 Finsler 度量（如 Kropina 度量与 $m$-Kropina 度量）在现实世界中有大量应用。本文研究一类由 Riemann 度量 $\alpha$ 与 1-形式 $\beta$ 定义的二维奇异 Finsler 度量，并通过若干方程刻画了其中具有 Douglas 性质或局部射影平坦的度量。结果表明，所诱导的主要度量类是 $m$-Kropina 度量加上关于 $\beta$ 的线性部分。对于该类度量，本文确定了具有 Douglas 性质或（部分）射影平坦情形的局部结构，特别地，证明了 Kropina 度量总是具有 Douglas 性质，且当 $m\ne -1$ 时具有 Douglas 性质的 $m$-Kropina 度量是局部 Minkowski 的。这表明二维情形与高维情形有很大不同。