关于一类奇异 Douglas 度量和射影平坦 Finsler 度量

奇异 Finsler 度量，如 Kropina 度量和 $m$-Kropina 度量，在现实世界中有许多应用。本文研究由 Riemann 度量 $\alpha$ 和 1-形式 $\beta$ 定义的一类奇异 Finsler 度量，并通过某些方程刻画了那些在维数 $n\ge 3$ 时分别为 Douglas 型和局部射影平坦的度量。我们的研究表明，所诱导的主要类是一个 $m$-Kropina 度量加上关于 $\beta$ 的线性部分。对于 $m\ne -1$ 的这类度量，确定了射影平坦情形的局部结构，并证明了 Douglas $m$-Kropina 度量必然是 Berwald 型的，而射影平坦的 $m$-Kropina 度量必然是局部 Minkowskian 的。这表明奇异情形与正则情形有显著不同。