平方上的零熵同胚的 $(\omega, \alpha, n)$-sensitivity 与极限集

对于紧致度量空间 $X$ 上的同胚 $f$ 及整数 $n\geq 2$，我们引入 $(\omega, \alpha, n)$-sensitivity 的概念，以描述如下混沌现象：存在 $c>0$，使得对任意 $x\in X$ 与任意开邻域 $U$，存在点 $\{x_i\}_{i=1}^n$ 与 $\{y_i\}_{i=1}^n$ 位于 $U$ 中，使得 $\omega$-limit 集 $\omega(x_i, f)$ 与 $\alpha$-limit 集 $\alpha(y_i, f)$ 两两 $c$-分离。随后我们构造平方 $[-1, 1]^2$ 上的一类同胚，这些同胚对任意 $n\geq 2$ 均为 $(\omega, \alpha, n)$-sensitivity 且具有零拓扑熵。为进一步利用极限集探讨零熵同胚的复杂性，我们深入分析平方同胚的极限集，采用边界渗透技术。特别地，我们证明：对于给定的点集 $Y\equiv\{y_{n1}, y_{n2}:n\in\mathbb N\}$ 位于 $(-1, 1)^2$ 中且满足若干松散技术条件，以及给定的两两不相交的可数稠密子集族 $\{W_n:n\in\mathbb N\}$ 位于 $(-1, 1)^2-Y$ 中，必存在一个在平方 $[-1, 1]^2$ 上的零熵同胚 $f$，使得对任意 $n$ 及任意 $x\in W_n$，都有 $\omega(x, f)=\{y_{n1}\}$ 且 $\alpha(x, f)=\{y_{n2}\}$。