点态周期同胚的超空间动力学

在本文中，我们首先证明任意紧致度量空间的远距同胚的诱导映射的拓扑熵为零。然后我们考虑紧致度量空间 $X$ 上任意点态周期同胚 $f:X\to X$ 的诱导映射 $2^f$，我们证明几乎周期点集与一致回归点集重合，即 $AP(2^f)=UR(2^f)$。此外，我们证明在任何无限 $\omega$-极限集 $\omega_{2^f}(A)$ 内部存在唯一极小集，且该极小集为加机。因此，$(2^X,2^f)$ 不存在 Devaney 混沌子系统。与这些刚性性质形成对比，我们获得了一些具有混沌特征的结果。事实上，我们证明了以下二分法：超空间系统 $(2^X,2^f)$ 要么是等度连续的，要么关于 Li-Yorke 混沌和 $\omega$-混沌是混沌的。我们证明后者发生当且仅当 $R(2^f)\setminus AP(2^f)\neq\emptyset$。这使我们能够提供点态周期同胚具有混沌诱导系统的简单例子。