正则曲线同胚的诱导映射的熵

设 $f:X\to X$ 是连续统 $X$ 的自同胚，我们证明如果 $X\setminus \Omega(f)$ 非空，则诱导系统 $(2^X,2^f)$ 的拓扑熵为无穷大。如果进一步 $X$ 是正则曲线，则证明 $(2^X,2^f)$ 具有无穷大拓扑熵当且仅当 $X\setminus \Omega(f)$ 非空。此外，对于诱导系统 $(C(X),C(f))$，我们证明了以下性质之间的等价性：(i) 拓扑熵为零；(ii) 不存在 Li-Yorke 对；(iii) 对于 $X$ 的任意周期子连续统 $A$ 和 $X\setminus \Omega(f)$ 的任意连通分量 $C$，若 $A\cap C\neq \emptyset$ 则 $C\subset A$。特别地，$(2^X,2^f)$ 或 $(C(X),C(f))$ 的拓扑熵仅有两个可能的取值 $0$ 或 $\infty$。最后，我们给出了一个逐点周期有理曲线同胚 $F:Y\to Y$ 的例子，其诱导映射 $C(F)$ 具有无穷大拓扑熵。