正则曲线上单调映射的非游荡集与特殊 $\alpha$-极限集

设 $X$ 为正则曲线，$f: X\to X$ 为单调映射。本文研究了 $f$ 的非游荡集以及 $f$ 的特殊 $\alpha$-极限集的结构。我们证明 AP$(f)= \textrm{R}(f) =\Omega(f)$，其中 AP$(f)$、$\textrm{R}(f)$ 和 $\Omega(f)$ 分别为 $f$ 的几乎周期点集、回归点集和非游荡点集。该结果推广了 Naghmouchi 在 $f$ 为正则曲线上的同胚时建立的结果 [J. Difference Equ. Appl., 23 (2017), 1485--1490] 和 [Colloquium Math., 162 (2020), 263--277]，以及 Abdelli 与 Abdelli、Abouda 和 Marzougui 在 $f$ 为局部树枝上的单调映射时分别建立的结果 [Chaos, Solitons Fractals, 71 (2015), 66--72] 和 [Topology Appl., 250 (2018), 61--73]。另一方面，我们证明对每一个 $x\in X\setminus \textrm{P}(f)$，特殊 $\alpha$-极限集 $s\alpha_{f}(x)$ 是极小集，其中 P$(f)$ 为 $f$ 的周期点集，且对每一个 $x\in X$，$s\alpha_{f}(x)$ 总是闭的。此外，我们证明 $\textrm{SA}(f) = \textrm{R}(f)$，其中 $\textrm{SA}(f)$ 表示 $f$ 的所有特殊 $\alpha$-极限集的并；这些结果在单调情形下推广了 Hant\'{a}kov\'{a} 和 Roth 在 [预印本: arXiv 2007.10883.] 以及 Fory\'{s}-Krawiec、Hant\'{a}kov\'{a} 和 Oprocha 在 [预印本: arXiv:2106.05539.] 中分别得到的关于区间映射和图映射的近期结果。还得到了与极限映射连续性相关的进一步结果，我们证明 $\omega_{f}$ 映射（相应地，$\alpha_{f}$ 映射，相应地，s$\alpha_{f}$ 映射）在 $X\setminus \textrm{P}(f)$（相应地，$X_{\infty}\setminus \textrm{P}(f)$）上连续。