二维“差” Boussinesq 方程的数值方法：RK4、Strang 分裂与高频傅里叶模

本文提出用于求解二维“差” Boussinesq 方程的数值方法：$u_{tt} = u_{xx} + u_{xxxx} + u_{yy} - 3 (u^{2})_{xx}$，具有良好精度。该方法主要依赖伪谱傅里叶方法，并对 carefully choice 的高频傅里叶模进行修剪。一种方法还依赖第四阶 Runge-Kutta (RK4)，另一种方法依赖 Strang 分裂。在实现两种方法之前，我们通过去除非线性项 $3(u^{2})_{xx}$ 对方程的线性化版本进行傅里叶级数分析，发现必须满足特定界限或条件，以避免 blow-up 解。我们发现，不满足条件的高频傅里叶模必须从傅里叶解中排除。我们随后将该条件应用于求解非线性 Boussinesq 方程的数值方法，发现仅包含满足条件的傅里叶模可获得稳定的数值解，并在 $t=100$ 时保持良好精度。即使仅包含少数几个违反条件的傅里叶模，也可能在 $t=23.5$ 时导致 blow-up 解。方法的精度通过计算 $L^{\infty}$ 误差来衡量，使用 soliton 精确解进行验证。RK4 和 Strang 分裂数值模拟在小 $\triangle t$ 时误差略有差异，但当 $\triangle t$ 增大时，Strang 分裂模拟性能明显下降。使用我们的数值方法，我们还展示了一个带 Dirichlet 边界条件的模拟，以模拟波的反射。