基于非局部变换与微分约束的爆破问题数值积分

描述了几种针对一阶和二阶非线性常微分方程具有爆破解的 Cauchy 问题的数值积分新方法。此类问题的解具有奇点，其位置事先未知（求解爆破解问题的标准数值方法可能导致显著误差）。第一种方法基于引入一阶导数作为新自变量，转化为等价方程组。第二种方法基于引入新的辅助非局部变量，随后转化为相应常微分方程组的 Cauchy 问题。第三种方法基于向原方程添加一个微分约束，即连接给定变量与新变量的辅助常微分方程。所提方法导出的问题其解以参数形式表示，不具有爆破奇点；因此变换后的问题允许应用标准定步长数值方法。通过求解一些具有精确解析解的测试问题展示了这些方法的效率。结果表明：(i) 基于特殊类型非局部变换的方法比其他几种方法更高效；(ii) 在所提方法中，基于微分约束的方法最为通用。文中还考虑了一些非经典爆破问题。导出了自变量临界值的简单理论估计。证明了基于一般形式非局部变换的方法以及基于微分约束的方法可推广到 n 阶常微分方程和耦合常微分方程组。