关于立方体上拟环面流形的全斜嵌入注记

全斜嵌入由 Ghomi 和 Tabachnikov 引入。它们自然地联系到拓扑学中的经典问题，如广义向量场问题和实射影空间的浸入问题。在近期论文《全斜嵌入的拓扑障碍》中，利用 Stiefel-Whitney 类研究了全斜嵌入。同一篇论文猜想：对于每个 $n$ 维紧致光滑流形 $M^n$ $(n>1)$，有 $$N(M^n)\leq 4n-2\alpha (n)+1,$$ 其中 $N(M^n)$ 定义为使得光滑流形 $M^n$ 存在到 $\mathbb{R}^N$ 的{\em 全斜}嵌入的最小维数 $N$。我们证明了对任意 $n$，存在一个拟环面流形 $Q^{2n}$，其 $T^n$ 作用的轨道空间为立方体 $I^n$，且满足 $$N(Q^{2n})\geq 8n-4\alpha (n)+1.$$ 利用上同调环 $H^* (Q^{2n}, \mathbb{Z}_2)$ 的组合性质，我们构造了一个有趣的通用非平凡例子，该例子不同于已知的复射影空间乘积的例子。