复与四元数射影空间的对称平方

计算拓扑空间对称平方的积分上同调环的问题自20世纪30年代以来一直引人关注，但直到最近一般情形进展有限。本文中，我们利用复和四元数射影空间 $KP^n$ 丰富的几何结构，给出了该问题的解。我们的描述采用生成元和关系的形式，方法融合了量子化学、理论物理和组合学文献中出现的思想。我们首先处理 $KP^\infty$ 情形，然后通过确定截断以过渡到有限 n。计算依赖于一长精确上同调序列 ladder，该 ladder 通过比较对称平方的对角线及相关 Borel 构造所对应的余纤维序列得到。这些余纤维序列涉及 $K^{n+1}$ 中 1 维子空间的无序对构成的经典配置空间及其一点紧化；后者通过结合 Lowdin 对称正交化过程（及其四元数扩展）与少许 Pin 几何学被识别为 Thom 空间。所得的积分上同调环可方便地用广义 Fibonacci 多项式表示。作为验证，我们注意到我们的结论与 Nakaoka 的 mod 2 计算以及 Milgram 的同调结果相容。