关于一类单调量子相对熵的注记

给定凸函数 $\varphi$ 与两个厄米矩阵 $A$ 和 $B$，Lewin 与 Sabin 在 [M. Lewin, J. Sabin, {\it A Family of Monotone Quantum Relative Entropies}, Lett. Math. Phys. \textbf{104} (2014), 691-705.] 中研究了由 $\mathcal{H}(A,B)=\text{Tr} [ \varphi(A) - \varphi(B) - \varphi'(B)(A-B) ]$ 定义的相对熵。除其他结论外，他们证明了所定义的量当且仅当 $\varphi'$ 为算子单调时是单调的。该单调性随后被用于通过极限过程恰当定义作用于无限维 Hilbert 空间上的自伴有界算子的 $\mathcal{H}(A,B)$。更确切地说，对于满足 $P_n \to 1$ 强收敛的有限维投影递增序列 $\lbrace P_n \rbrace_{n=1}^{\infty}$，极限 $\lim_{n \to \infty} \mathcal{H}(P_n A P_n, P_n B P_n)$ 被证明存在且独立于投影序列 $\lbrace P_n \rbrace_{n=1}^{\infty}$。该序列是否收敛到其“显然”极限，即 $\text{Tr} [ \varphi(A)- \varphi(B) - \varphi'(B)(A-B) ]$，这一问题此前悬而未决。我们原则上肯定地回答了该问题，并证明 $\lim_{n \to \infty} \mathcal{H}(P_n A P_n, P_n B P_n) = \text{Tr}[ \varphi(A) - \varphi(B) - \frac{\text{d}}{\text{d} \alpha} \varphi( \alpha A + (1-\alpha)B )|_{\alpha = 0} ]$。若算子 $A$ 与 $B$ 足够正则，即 $(A-B)$、$\varphi(A)-\varphi(B)$ 与 $\varphi'(B)(A-B)$ 为迹类，则恒等式 $\text{Tr}[ \varphi(A) - \varphi(B) - \frac{\text{d}}{\text{d} \alpha} \varphi( \alpha A + (1-\alpha)B )|_{\alpha = 0} ] = \text{Tr} [ \varphi(A)- \varphi(B) - \varphi'(B)(A-B) ]$ 成立。