PT 对称量子力学中 C 算符的非唯一性

PT 对称量子力学中的 C 算符满足三个联立代数算符方程组：$C^2=1$、$[C,PT]=0$和$[C,H]=0$。这些方程难以精确求解，因此过去曾使用微扰方法来计算 C。通常的方法是将哈密顿量表示为$H=H_0+\epsilon H_1$，并寻求形式为$C=e^Q P$的 C 的解，其中$Q=Q(q,p)$在动量$p$中为奇函数，在坐标$q$中为偶函数，并具有形式为$Q=\epsilon Q_1+\epsilon^3 Q_3+\epsilon^5 Q_5+\ldots$的微扰展开式。[在先前的工作中，一直假设该展开式中$\epsilon$的偶次幂系数不存在，因为它们的存在会违反$Q(p,q)$在$p$中为奇函数的条件。] 在一篇早期论文中，有人论证 C 算符不是唯一的，因为微扰系数$Q_1$不是唯一的。在此，我们在更基础的层面上证明了 C 的非唯一性：表明 Q 的微扰展开式实际上具有更一般的形式$Q=Q_0+\epsilon Q_1+\epsilon^2 Q_2+\ldots$，其中出现了$\epsilon$的{\it所有}幂次，而不仅仅是奇次幂。对于$H_0$为谐振子哈密顿量的情况，精确且以闭式计算了$Q_0$，并明确显示其是非唯一的。结果通过使用基于解析延拓的强大求和程序进行了验证。还展示了如何计算 Q 微扰级数中的更高阶系数。