Erd\H{o}s-Selfridge 曲线上的非平凡有理点

我们研究 Erd\H{o}s-Selfridge 曲线 $y^\ell = x(x+1)\cdots(x+k-1)$ 上的有理点，其中 $k,\ell \geq 2$ 为整数。这些曲线包含 $y=0$ 的"平凡"有理点 $(x,y)$，而 Sander 猜想预测了哪些 $(k,\ell)$ 对使得曲线包含 $y \neq 0$ 的"非平凡"有理点。设 $\ell \geq 5$ 为素数。我们证明：当 $k$ 充分大且与 $\ell$ 互素时，对应的 Erd\H{o}s-Selfridge 曲线仅包含平凡有理点。这证明了 Sander 猜想中许多此前未知的情形。证明依赖于 Erd\H{o}s 时代的组合思想，以及一种新颖的"质量增量论证"，其灵感 loosely 来自加法组合学中的增量论证。质量增量论证的主要算术输入是亏格至少为 2 的曲线上有理点的法尔廷斯定理的量化版本。