Erdős-Selfridge 超椭圆曲线变体的有理解

对于形如 $$(x+1) \cdots(x+i-1)(x+i+1)\cdots (x+k)=y^\ell$$ 的超椭圆曲线，其中 $x,y \in \mathbb{Q}$，$y\neq 0$，$k \geq 3$，$1\leq i\leq k$，$\ell \geq 2$ 为素数，Das、Laishram、Saradha 和 Edis 证明了当 $\ell\geq e^{3^k}$ 时该超椭圆曲线无有理点。事实上，这些论文中得到的双指数界远偏离实际。在本文中，我们研究小值 $k$ 下的超椭圆曲线。特别地，我们显式求解了 $4 \leq k \leq 8$ 时的上述方程。