在分圆$\mathbb{Z}_\ell$-扩张上具有少量坏素数的曲线

设 $K$ 是一个数域，$S$ 是 $K$ 的一个非阿基米德位的有限集，并记 $\mathcal{O}_S^\times$ 为 $K$ 的 $S$-单位群。西格尔的一个著名定理断言，关于 $\varepsilon$, $\delta \in \mathcal{O}_S^\times$ 的 $S$-单位方程 $\varepsilon+\delta=1$ 仅有有限多个解。沙法列维奇的一个著名定理断言，在 $S$ 外具有良好约化的 $K$ 上的椭圆曲线只有有限多个同构类。现在，我们考虑的不是数域，而是令 $K=\mathbb{Q}_{\infty,\ell}$ 表示 $\mathbb{Q}$ 的 $\mathbb{Z}_\ell$-分圆扩张。我们证明，对于 $\ell \in \{2,3,5,7\}$，方程 $\varepsilon+\delta=1$（其中 $\varepsilon$, $\delta \in \mathcal{O}_S^\times$）有无穷多解，这里 $S$ 仅由 $\ell$ 上的完全分歧素理想组成。此外，对于每个素数 $\ell$，我们构造了无穷多条定义在 $K$ 上且在 $2$ 和 $\ell$ 之外具有良好约化的椭圆或超椭圆曲线。对于某些素数 $\ell$，我们证明这些曲线的雅可比簇实际上属于无穷多个不同的同源类。