康托尔集平移中的有理点

给定两个互素整数 $p\ge 2$ 和 $q \ge 3$，令 $D_p\subset[0,1)$ 由所有具有有限 $p$ 进制展开的有理数组成，并令 $$K(q, \mathcal{A})=\bigg\{ \sum_{i=1}^\infty \frac{d_i}{q^i}: d_i\in \mathcal{A}~ \forall i\in\mathbb{N} \bigg\},$$ 其中 $\mathcal{A} \subset \{0,1,\ldots, q-1\}$ 且基数 $1<\#\mathcal{A}< q$。2021 年 Schleischitz 证明了 $\#(D_p\cap K(q,\mathcal{A}))<+\infty$。本文我们证明对任意 $r\in\mathbb{Q}$ 和任意 $\alpha\in\mathbb{R}$，有 $$\#\big((r D_p+\alpha)\cap K(q,\mathcal{A})\big)<+\infty.$$